Los números duales

Una de las extensiones de $\mathbb R$ que permite trabajar con infinitesimales son los números duales. Lo que se hace es añadir a $\mathbb R$ un infinitésimo $\varepsilon$ e imponer $\varepsilon^2=0$; formalmente $\mathbb D=\mathbb R[x]/(x^2)$ y $\varepsilon =x+(x^2)$. Ésta es una de las tres posibles $\mathbb R$‑álgebras bidimensionales; las otras son los complejos $\mathbb C=\mathbb R[x]/(x^2+1)$ y los paracomplejos $\mathbb M=\mathbb R[x]/(x^2-1)$. Así se puede tomar $\Delta x=\varepsilon$ y calcular $\Delta(x^2)=(x+\varepsilon)-x^2=2x\varepsilon$.

Los números duales tiene varios inconvenientes. Para empezar, no forman un cuerpo, ni siquiera un dominio de integridad, porque $\varepsilon$ es nilpotente. En particular, no se puede dividir por $\varepsilon$, sólo sacarlo como factor común, luego la notación de Leibnitz es incorrecta con los números duales. No obstante, sirven para calcular con todo rigor con polinomios y series. Sirven también para calcular las ecuaciones del álgebra de Lie de un grupo algebraico lineal, haciendo así honor a la clásica denominación de transformaciones infinitesimales. Una matriz $\mathtt A\in\mathrm{GL}(n,\mathbb C)$ pertenece al álgebra de Lie del grupo algebraico lineal si y sólo si $\mathtt I+\varepsilon\mathtt A$ pertenece a la variedad que define el grupo algebraico ampliada a $\mathbb C[\varepsilon]$.